Discussion:Projection orthogonale

Caractérisation parmi les projecteurs

J'ai remplacé "application lipschitzienne de rapport égal à 1" par "application 1-lipschitzienne", qui me semble moins risquer d'être interprété en "1 est la plus petite constante ..." Anne Bauval (d) 26 février 2010 à 04:47 (CET)

Très pertinent, d'autant que la formulation en terme de norme subordonnée précise la situation. Asram (d) 26 février 2010 à 14:12 (CET)

Oui, j'avais vu. A ce propos, tu pourrais peut-être rendre ce début de paragraphe encore plus percutant en formulant comme suit, et en justifiant (pour le lecteur lambda) la seconde équivalence :

Une application linéaire p sur l'espace préhilbertien E est 1-lipschitzienne sur E si et seulement si

$\forall x\in E,\|p(x)\|\leq \|x\|~$.

On peut alors énoncer la caractérisation suivante :

Soit p un projecteur de E, p est une projection orthogonale $\Leftrightarrow$ p est 1-lipschitzienne $\Leftrightarrow$ la norme subordonnée de p est égale à 0 ou 1.

Anne Bauval (d) 26 février 2010 à 23:50 (CET)

Bonne idée, modifie comme tu le penses. La démonstration est la suivante:

Si p est 1-lipschitzien, sa norme subordonnée N vérifie $N=\sup _{\|x\|=1}\|p(x)\|\leq 1$ et cette borne supérieure est atteinte en n'importe quel vecteur unitaire de $Im(p)~$ lorsque p n'est pas l'application nulle, et vaut 0 si p est nulle. Inversement, si $N=\sup _{x\neq 0}\|p(x)\|/\|x\|\leq 1$, il vient immédiatement $\forall x\in E,\|p(x)\|\leq \|x\|~$.

Je ne suis pas très doué pour la mise en page des écritures mathématiques Asram (d) 27 février 2010 à 00:50 (CET)

C'est aussi équivalent à : p (possède un adjoint et) est normal Anne Bauval (d) 2 mars 2010 à 21:34 (CET)
Bonjour,
L'équivalence "La norme subordonnée de p est égale à 0 ou 1" $\Leftrightarrow$ "p est une projection orthogonale" me pose problème : Si r est une rotation on a $\displaystyle \vert \vert \vert r\vert \vert \vert =\sup _{x\neq 0}{\frac {\|r(x)\|}{\|x\|}}=\sup _{x\neq 0}{\frac {\|x)\|}{\|x\|}}=1$, pourtant r n'est pas une projection orthogonale. Où est-ce que je me trompe dans mon contre exemple ?
Lanh (d) 30 décembre 2010 à 11:37 (CET)

Bonjour, l'équivalence concerne les projecteurs uniquement : elle est introduite après soit p un projecteur. Anne Beauval a adapté l'article en conséquence en mettant plus en évidence cette hypothèse. Asram (d) 30 décembre 2010 à 14:16 (CET)

Merci. Effectivement, j'avais lu trop rapidement.
Lanh (d) 30 décembre 2010 à 15:17 (CET)

existence d'un projeté orthogonal

Bonjour,

Est-ce qu'on ne pourrait pas revoir le plan de cette section? (en créant trois sous sections)

• Donner les deux premiers exemples, puis annoncer que lorsque l'orthogonal est un supplémentaire, le biorthogonal redonne l'espace, donc l'espace doit être fermé (bref, parler de condition nécessaire de manière illustrée);
• Donner les équivalences proposées;
• Donner la condition suffisante dans son cas le plus général, et particulariser au cas de la dimension finie parceque l'on a une forme explicite?

Asram (d) 1 mars 2010 à 00:06 (CET)

Je ne suis pour rien dans le plan actuel mais je le trouve très didactique : le début de chacune des 2 parties est purement algébrique puis glisse progressivement vers de la topologie de plus en plus hard, les équivalences (immédiates et purement algébriques) qui suivent l'exemple initial (je ne comprends pas ton "les deux") sont une mise en forme de ce qu'on a déjà commencé à comprendre en manipulant l'exemple, la fin de la 1ère partie est ainsi bien amenée, et elle-même motive bien la 2ème, et "Bourbakiser" la 2ème partie va faire fuir le public-cible (mon ajout final est déjà un peu limite, mais est final). Anne Bauval (d) 1 mars 2010 à 00:50 (CET)

Deux: = exemple et contre exemple, le deuxième permettant de dire la faiblesse, par rapport au caractère fermé?

Décidément, tu sais qui est le public cible . Oki, je n'insiste pas. Mais, en respectant le plan actuel, je modifierai peut-être quelques formulaitions. Il faudrait harmoniser davantage, peut-être. Par exemple, à propos de minimisation de la distance, c'est bien d'une caractérisation qu'il s'agit en effet, mais ce n'est pas mis en valeur de la même manière que ce que tu as écrit ensuite. Pour l'instant, je lis une suite d'informations, que je trouve, hum, successives? Asram (d) 1 mars 2010 à 01:20 (CET)

le "premier exemple" est donc la projection sur la droite (je ne comprenais pas parce qu'actuellement il n'est pas dans "3.2 Existence"). Je n'ai aucun a priori sur le public cible (qui est évidemment très différent d'un article a l'autre, et idéalement le plus large possible si, justement, le plan est astucieux), mais c'est toi-même qui viens de m'amener, en relisant, à remarquer qu'ici il faut "viser bas" (en ne parlant pas de sous-espaces propres). Pour tout ce qui est harmonisation, tout-à-fait d'accord. Faudrait aussi préciser le produit scalaire dans le contre-exemple. WP:BOLD, fais tout ce que tu penses être bien (même sur le plan : je ne faisais que l'effort de donner mon avis). Je ne touche plus à rien. Anne Bauval (d) 1 mars 2010 à 01:47 (CET) rédigé avant le message suivant mais édité après, sans modifier. J'ai donc lu le suivant, mais plus très motivée sur cet article

Je précise mon idée (finalement j'insiste mais en respectant le plan pédagogique). Mettre le cas de la droite dans existence, ensuite l'hyperplan comme contre exemple, puis donner la CNS, en remarquant qu'il est nécessaire que l'espace soit fermé, et enfin donner les cas que l'on pourrait appeler fondamentaux plutôt que importants. Asram (d) 1 mars 2010 à 01:27 (CET)

Menfin } (je pique les émoticones sur ta page, ils sont top), il n'y avait pas de critique sur le public, c'est un joke . Je n'ai pas dit qu'il fallait viser bas, je te rejoins sur la notion de progression pédagogique. Je ne veux pas être la source de ta démotivation , qui est seulement de la fatigue? . Je ne suis que de passage ici, et je me sens de trop (pas mon état d'esprit, tu n'y es pour rien ). J'ai honte de ce que je vais dire, mais modifie comme tu veux !!!, j'avais senti le début de la notion de travail d'équipe avec toi , mais ça n'a pas l'air général. Mes remarques sont sincères, après l'inutile agressivité du départ. Dans ce portail, on sort son TI comme un crucifix contre le démon . Or tu fais un travail remarquable, soucieux des autres .¨Pour ma part, j'ai juste créé une page que je suivrai, sans doute jusqu'à sa disparition . Je vais retourner sur mon portail:Tunisie, le ciel y est clair , mais je reste dispo pour des avis, que tu considéreras comme neutre Bonjour Asram (d) 1 mars 2010 à 02:29 (CET)

minimisation de la distance

Bonjour,

Est-ce qu'on peut modifier son contenu? Déjà, sur les notations. Et puis, le lien article détaillé est-il pertinent? J'ai l'impression que la démonstration qu'on devrait y trouver n'y figure que comme lien? Asram (d) 11 mars 2010 à 23:50 (CET)

Oki, merci, tu as fait plus simple que ce que j'avais prévu de faire . J'ai créé pour l'occasion une rubrique sur la distance d'un point à une partie. Je trouve ta nouvelle version plus harmonieuse Asram (d) 12 mars 2010 à 01:47 (CET)

P.S.: peut-être dire que l'inf est un min ? mais où ? Asram (d) 12 mars 2010 à 01:56 (CET)

Projeté orthogonal d'un vecteur sur une droite

Athanatophobos 27 juillet 2016

Ce passage est peu clair :

"soit ${\vec {v}}$ un vecteur directeur unitaire de (D) orientant cette droite et B un point de (D), on a

${\overline {\mathrm {BH} }}={\overrightarrow {\mathrm {BA} }}\cdot {\vec {v}}$

${\overrightarrow {\mathrm {BH} }}=({\overrightarrow {\mathrm {BA} }}\cdot {\vec {v}}){\vec {v}}$

Si ${\vec {v}}$ n'est pas unitaire, on a :

${\overline {\mathrm {BH} }}={\frac {{\overrightarrow {\mathrm {BA} }}\cdot {\vec {v}}}{\|{\vec {v}}\|}}$

${\overrightarrow {\mathrm {BH} }}={\frac {{\overrightarrow {\mathrm {BA} }}\cdot {\vec {v}}}{\|{\vec {v}}\|^{2}}}{\vec {v}}$"

Comment arrive-t-on de l'avant-dernier calcul au dernier ?

Sachant que le vecteur BH est égal à la distance BH fois le vecteur v, je ne comprends pas d'où vient ce ||v||².

Édit : j'ai trouvé ce lien qui explique mieux ledit résultat. http://www.alloprof.qc.ca/BV/Pages/m1474.aspx#d%c3%a9mo

Le facteur ||v||² vient du fait qu'on utilise un vecteur v non unitaire, donc pour appliquer le résultat précédant, on considère v/||v|| qui lui est unitaire, d'où :

${\overrightarrow {\mathrm {BH} }}={\overline {\mathrm {BH} }}{\frac {\vec {v}}{\|{\vec {v}}\|}}={\frac {{\overrightarrow {\mathrm {BA} }}\cdot {\vec {v}}}{\|{\vec {v}}\|^{2}}}{\vec {v}}$

Rien de bien méchant... Kelam (discuter) 27 juillet 2016 à 16:56 (CEST)

Merci pour cette explication, cela devient plus clair. Je me suis permis d'ajouter cette ligne de calcul intermédiaire dans cette partie de l'article.

Transformation

En tout début d'article, la projection est définie comme étant une transformation : pour information, une projection n'est pas une transformation à moins d'être l'identité. Une transformation est une application bijective (on parle d'ailleurs de groupe des transformations). Utiliser le mot transformation à la place d'application n'est pas judicieux.